SISTEMI DI NUMERAZIONE

L’esigenza di un’idea di "NUMEROSITA’ " nasce fin dall’epoca preistorica, quando il pastore doveva contare il suo gregge. Le pecore, come gli oggetti più disparati, potevano essere rappresentate come dei sassolini e disposti in fila: in questo modo la lunghezza della fila dei sassolini forniva la misura della numerosità del gregge. Quando l'uomo diventa stanziale deve imparare a contare il tempo e a riconoscere le stagioni.

Fino a quando le quantità da contare potevano corrispondere a parti del corpo umano, quali le mani, le dita delle mani o dei piedi, il valore poteva essere rappresentato anche ad altri, ma l’esigenza ulteriore di fare "operazioni reali", come somme sottrazioni etc. con valori superiori, rendeva necessario rappresentare il concetto di numerosità in modo più pratico e veloce, cioè utilizzando dei simboli chiari ed univoci: quindi ecco che nasce il concetto astratto di NUMERO.

In matematica, i sistemi di numerazione sono sistemi di notazione che sono stati usati o sono ancora in uso per rappresentare i numeri. Un sistema di numerazione è definito dalla base che usa; la base è il numero di differenti simboli richiesti da un sistema per rappresentare un’infinita serie di numeri.

Nel lungo percorso della storia, l’uomo ha utilizzato diversi sistemi di numerazione: attualmente è usato il sistema decimale (eccetto dai computer) che richiede dieci differenti cifre per rappresentare numeri ed è quindi un sistema a base 10; nei computer invece è usato il sistema binario, basato sulle uniche due cifre 0 e 1, utilizzato per esigenze tecniche di costruzione.

Ma questi non sono gli unici sistemi di numerazione utilizzati.

Lungo tutta la storia sono stati usati molti differenti sistemi di numerazione; infatti, molti numeri più grandi di uno sono stati usati come base. Molte culture hanno usato sistemi basati sui numeri 3, 4 o 5. I babilonesi usavano un sistema sessagesimale, basato sul numero 60, e i romani usavano (per alcune cose) il sistema dodecesimale, basato sul numero 12. I maya usavano il sistema vigesimale, basato sul numero 20. Il sistema binario, basato sul numero due, era usato da alcune tribù e , oggigiorno insieme con il sistema basato sul numero otto, è usato nel computer.

Vediamo quali proprietà deve avere un sistema di numerazione posizionale, prendendo ad esempio quello che universalmente utilizziamo, cioè quello in base 10.

Un sistema di numerazione si dice posizionale perché la posizione di un simbolo in un numero nella base determina il valore di quella cifra in termini di valore esponenziale della base.

Nel sistema decimale, la quantità rappresentata da ciascuno dei dieci simboli usati - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9-dipende dalla sua posizione nel numero.

Ad esempio il numero

3.098.323

è un abbreviazione per

(3x10⁶) + (0x10⁵) + (9x10⁴) + (8x10³) + (3x10²) + (2x10¹) + (3x10⁰, o 3x1).

Il primo 3 (leggendo da destra verso sinistra) rappresenta 3 unità: il secondo 3 trecento unità e il terzo 3 tre milioni d’unità.

In questo sistema lo zero gioca un doppio ruolo: da solo esso rappresenta il niente, ma è indispensabile per indicare i multipli di 10, stabilendo quali di essi si vuole indicare ( 100, 1000 e così via ) a seconda di quale posizione assume la cifra 1. Allo stesso modo serve anche per indicare le frazioni d’interi: 1/10 è scritto 0,1 ; 1/100 come 0,01; 1/1000 come 0,001 e così via.

Nel sistema binario i due simboli - 0, 1 - sono sufficienti per rappresentare un numero;

nel sistema esagesimale sono necessari sei simboli-0, 1, 2, 3, 4, 5 - ;

e nel sistema dodecesimale sono necessari dodici simboli - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, d (dieci) , u (undici).

La rappresentazione dei numeri in queste basi segue la proprietà illustrata per la base 10.

Il numero

30155₆ ,

nel sistema esagesimale, è il numero

(3 × 64) + (0 × 63) + (1 × 62) + (5 × 61) + (5 × 60) = 3 x 1296 + 0 x 216 + 1 x 36 + 5 x 6 + 5 x 1 =3959

nel sistema decimale ;

il numero

2ud₁₂

nel sistema dodicesimale è il numero

(2 × 122) + (11 × 121) + (10 × 120) = 2 x 144 + 11 x 12 + 10 x 1 = 430

nel sistema decimale.

Per convertire un numero n scritto in base 10 in un numero a base b ,bisogna dividere (nel sistema decimale) n per b, dividere il quoziente per b, il nuovo quoziente per b ,e così via fino a quando il quoziente è 0.I resti successivi letti dall’ultimo al primo rappresentano il numero n in base b.

Per esempio, prendiamo il numero 19 in base 10 che vogliamo convertire in base 2. Eseguiamo le divisioni come descritto:

19	:	2	=	9	:	2	=	4	:	2	=	2	:	2	=	1	:	2	=	0
1				1				0				0				1

Si legge 10011₂

La notazione posizionale permette di effettuare le quattro operazioni elementari semplicemente ricordando le relative "tabelline", quelle che abbiamo tutti imparato alle scuole elementari. Quello che il nostro cervello ha memorizzato fin dall’infanzia sono le seguenti regole per la somma e per la moltiplicazione:

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11		1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12		2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13		3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14		4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15		5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16		6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17		7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	64	70
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18		8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19		9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Abbiamo imparato che il "riporto", cioè il raggiungimento nella somma di una decina di unità o di decine o di centinaia, ecc. significa aggiungere 1 alla posizione precedente, cioè alle decine alle centinaia o alle migliaia o così via .

Tuttora nelle scuole elementari per insegnare questo metodo viene spesso usato l’abaco, ancora in uso presso i Cinesi o i Giapponesi.. L’abaco visualizza il riporto attraverso una posizione diversa delle palline che aumentano il loro valore a seconda della loro posizione; così operare un riporto vuol dire far scorrere una pallina dell’ordine superiore a sinistra e sommarla alle presenti, in modo automatico ma manuale.

Per creare macchine capaci di fare le operazioni come la somma e le moltiplicazioni in modo del tutto automatico bisognava riuscire a realizzare un meccanismo capace di tener conto del riporto. La prima che ci riuscì fu la Pascalina (1642) mediante un meccanismo a ruote dentate (totalizzatore) basato sullo stesso principio del contachilometri dell’auto. Purtroppo quest’automa era in grado di svolgere solo la somma e la sottrazione.

Per riuscire a svolgere anche le moltiplicazioni , non per addizioni ripetute, nel 1887 Bollée realizza una macchina che ricorreva ad una tabella pitagorica meccanica. In pratica dotava la macchina di quello che ora è chiamato software. Ma comunque molto limitato.

Il grosso salto di qualità fu dato dalla SCHEDA PERFORATA: dapprima fu utilizzata nei telai industriali permettendo disegni o forme semplicemente decidendo l’assenza del filo nell’ordito con un pieno e la sua presenza con un vuoto. Quindi "pieno" 1 e "vuoto" 0. (Jacquard 1801)

Nel 1847 Boole descrive l’analisi matematica della logica riducendo molte questioni matematiche a semplici sequenze di 1 e 0 , permettendo di semplificare certe operazioni "logiche" con regole semplici ed immediate.

Babbage nel 1833 progettò, ma non riuscì a realizzare, una macchina capace di risolvere ogni operazione aritmetica, che fu la base del moderno computer. Il progetto prevedeva la capacità di svolgere le operazioni in sequenze diverse ed era dotato di un linguaggio di programmazione proprio. In pratica si interveniva dall’esterno mediante schede perforate.

Nel 1890 Hollerith per sveltire lo smaltimento dei dati relativa al censimento statunitense suggerisce di registrare i dati su schede perforate, così da svolgere meccanicamente il conteggio delle informazioni.

Fin dall’inizio della storia del computer ci si è resi conto che per conservare e registrare i dati bisognava utilizzare mezzi elettromeccanici, poi con lo sviluppo dell’elettronica mezzi elettronici.

Il sistema binario gioca un importante ruolo nella tecnologia del computer , poiché questo può rappresentare i due stati:. Per esempio il numero binario 1001 può essere realizzato da quattro spire conduttrici ,delle quali la prima e l’ultima soltanto sono percorse da corrente. Un rilevatore di tensione elettrica è in grado di riconoscere l’ordine ed il valore dell’allineamento.

Per meglio esemplificare ecco i primi 11 numeri nel sistema binario:

 

Base 10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Base 2	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

Anche il sistema binario è posizionale e quindi le cifre rappresentano la quantità delle potenze della base da sommare.

Per esempio il numero,

10101101₂

rappresenta

(1 × 20) + (0 × 21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173.

Quest’esempio può essere usato per la conversione dei numeri del sistema binario nei numeri del sistema decimale.

Visto che tutte le basi consentono la notazione posizionale perché si è scelta la base due per il computer?

Oltre al motivo tecnico su citato, c’è il notevole vantaggio che nel sistema binario le operazioni si eseguono con estrema facilità, poiché i riporti sono semplicissimi. Se non fosse per il fatto che i numeri decimali sono scritti con un numero molto inferiore di cifre rispetto ai corrispondenti numeri binari e che i sistemi metrici sono suddivisi secondo la numerazione decimale, l’esecuzione delle operazioni aritmetiche consiglierebbe l’uso del sistema binario. Questo viene però universalmente adottato nella costruzione di tutti i dispositivi di calcolo delle calcolatrici automatiche elettroniche. Ecco le regole elementari della somma:

e del prodotto

Addizione ,sottrazione ,moltiplicazione e divisione nel sistema binario sono fatte nella stessa maniera del sistema decimale

Poiché nel sistema binario sono utilizzate soltanto due cifre, esso è sfruttato nei computers, in quanto qualsiasi numero binario può essere rappresentato attraverso una serie di interruttori on-off.